[Signal Processing] 푸리에 변환
서론
신호처리에서 정말 많이 쓰이는 푸리에 변환에 대해서 공부해보고자 한다!
다음 포스트를 보고 온다면 이해에 도움이 될 것이다.
푸리에 급수의 확장
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푸리에 급수를 통해 시간 주기 T를 가진 임의의 주기함수를 단순한 정현파들의 조합으로 표현할 수 있었다.
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그런데 만약 주기함수의 주기가 무한히 크다는 가정($T \rightarrow \infty$)이 들어간다면, 우리는 이 함수의 주기를 실제로 볼 수 없을 것이다.
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그렇다면, 주기를 가지고 있지 않은 함수 (비주기함수)를 주기가 무한대인 주기함수로 취급해도 되지 않을까?
주기가 무한대인 주기함수
- 이전에 다룬 푸리에 급수 식을 본다면,
- 위 식을 T에 대해 무한으로 극한을 취해보자
- 그 후, 1/T를 u(주파수: frequency) 로 치환하고 T를 포함한 변수들을 정리해준다.
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이를 바탕으로 (2)의 식을 다시 정리한다면 다음과 같다. \(\lim_{T->\infty}f(t) = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} exp( -j 2 \pi u t) dt \, exp( j2 \pi u t) du \\ = \int_{-\infty}^{\infty}F(u)exp(j2\pi u t)du\)
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여기서 F(u)를 푸리에 급수에서 계수를 나타내는 것으로 볼 수 있다.
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즉, 주기가 무한대인 주기함수 (= 비주기함수)를 푸리에 급수로서 나타낼 수 있는 것이다. 이를 푸리에 변환이라고 한다.
푸리에 변환 (Fourier Transform)
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푸리에 변환은 입력 함수를 받아서 다양한 주파수를 가지는 정현파의 조합으로 표현하는 것을 말한다.
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입력함수가 주기함수이던, 비주기함수 모두 가능하다는 것이 특징이다.
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푸리에 변환 수식
- 위에서 전개한 식을 조금 정리한 것이 푸리에 변환 공식이 된다. \(f(t)= \int_{-\infty}^{\infty}F(u)exp(j2\pi u t)du ... (3) \\ F\{f(t)\} = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)exp(-j2 \pi u t) dt ... (4)\)
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여기서 $f(t)$는 피변환함수, 즉 푸리에 변환을 적용하기 전의 함수이다.
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$F(u)$는 푸리에변환 함수이다. 푸리에 변환이 적용된 $f(t)$는 $F{f(t)}$로 나타낼 수 있다.
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u는 주파수 (frequency)로서, 주기의 역수이다.
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수식 (3)은 역 푸리에 변환 (Inverse Fourier Transform)이라 부른다. 입력 함수가 푸리에 급수 (즉, $e^{j12\pi ut}$의 조합)으로 표현된다는 의미이다.
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수식 (4)는 푸리에변환(Fourier Transform)을 의미한다. 이 식은 주파수(u)에 관련된 식으로서, 주파수의 값에 따른 푸리에 급수의 계수 값을 구할 수 있다.
- 이를 통해 주기함수만 표현할 수 있었던 푸리에 급수를 확장하여, 비주기함수도 간단한 주기함수의 합으로 표현할 수 있게 된 푸리에 변환이 소개 된 것이다.
참고자료 SuperMemi’s Study : 푸리에 변환
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